Un problema de espacio

Publicado por: @luisfsr

Un problema de espacio

Se tiene una esfera cuyo volumen es de $\frac{32 π}{3}$ cuyo centro es $O$ . A una distancia igual a $\frac{3}{4} r^{3}$ del punto $O$ se coloca un punto $H$ . Luego se construye un cono donde la altura es la recta $O H$ , y su radio $r$ es el mismo que el de la esfera. La esfera intercepta al cono en una circunferencia a una altura $h$ del punto $O$ . Conociendo esto, nombraremos $A$ al área de la esfera que no está al contacto con el cono, y $V$ al volumen del cono que no está en contacto con la esfera. Haya el resultado de $150 \frac{V}{A}$ .

Recomiendo mantener todo en términos de $π$

Nivel Desafío | Geometría

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Soluciones

Por @luisfsr · hace 0 segundos

Aviso Importante

El problema tiene un error en la solución, para solucionarlo simplemente multiplique el valor por 3.74 y responda con el entero más cercano. Si es un administrador y puede cambiar el valor, baje para ver la verdadera solución al problema.

Solución del Problema

Formulas Útiles

Circulo $A = π r^{2}$ Esfera $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ $A = 4 π r^{2}$ Cono $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ Casquete esférico $V = π h^{2} (R - \frac{h}{3}) = \frac{1}{6} πh (h^{2} + 3 r^{2})$ $A = 2 π R h = π (r^{2} + h^{2})$

Resolución

Podemos empezar obteniendo los datos, y luego, los puntos en los cuales se interceptan el cono y el circulo, puntos a los cuales llamaremos $R$ .

Obtención de datos

A partir de la formula del volumen del circulo, se despeja el radio y se consigue su valor: $r = 3 \frac{3}{4 π} V : r = 2$ Y conociendo el radio, se puede obtener la altura del triangulo: $h = \frac{3}{2} r^{3} : h = 6$

Obtención de los puntos de intercepción

Los puntos pueden obtenerse utilizando un modelo simplificado en dos dimensiones donde se dibuja un circulo de radio $r$ y un triangulo rectángulo cuya base es de $r$ y su altura es $h$ . Despejando las formulas trigonométricas obtenemos las siguientes igualdades: $r_{2} = r \cdot cos (θ)$ $h_{2} = r \cdot se n (θ)$ Donde $θ$ es el ángulo $RO R^{'}$ siendo $R^{'}$ es la esquina del triángulo que intercepta al circulo. Para obtener el ángulo $θ$ podemos conseguir primero el ángulo $α = ∠ H R^{'} O$ : $\overline{H R^{'}} = r^{2} + h^{2} = 40$ $α = co s^{- 1} (\frac{2}{40})$ Si observamos, el triángulo $RO R^{'}$ es un triángulo isósceles, cuyos ángulos son $θ$ , $α$ y $α$ . Entonces se puede despejar $θ$ . $θ = 180° - 2 α$ Y remplazando en $r_{2}$ y $h_{2}$ se consiguen los valores: $r_{2} = 1.6 h_{2} = 1.2$ Pero nos serviría más la altura de la circunferencia respecto a $r_{2}$ , es decir: $h_{3} = h - h_{2} = 0.8$ A partir de aquí ya podemos calcular las áreas y volúmenes.

Calculo de $A$ y $V$

El volumen $V$ se calcula a partir de la diferencia entre el volumen del cono $V_{C}$ y el volumen del casquete esférico $V_{CE}$ . Mientras que el área $A$ es la diferencia entre el área de la esfera $A_{E}$ y la área del casquete esférico $A_{CE}$ . $150 \frac{V}{A} = 150 \frac{\frac{1}{3} π r _{2}^{2} ( h - h _{2} ) - π h _{3}^{2} ( r - \frac{h _{3}}{3} )}{4 π r ^{2} - 2 π r h _{3}} = 35$ Siendo está la verdadera solución a nuestro problema.

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